Greatest Convex

题意翻译

给你一个 $k$，要你求一个最大的 $x \lt k$，使得 $x! + (x - 1)!$ 为 $k$ 的倍数

题目描述

You are given an integer $ k $ . Find the largest integer $ x $ , where $ 1 \le x < k $ , such that $ x! + (x - 1)!^\dagger $ is a multiple of $ ^\ddagger $ $ k $ , or determine that no such $ x $ exists. $ ^\dagger $ $ y! $ denotes the factorial of $ y $ , which is defined recursively as $ y! = y \cdot (y-1)! $ for $ y \geq 1 $ with the base case of $ 0! = 1 $ . For example, $ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0! = 120 $ . $ ^\ddagger $ If $ a $ and $ b $ are integers, then $ a $ is a multiple of $ b $ if there exists an integer $ c $ such that $ a = b \cdot c $ . For example, $ 10 $ is a multiple of $ 5 $ but $ 9 $ is not a multiple of $ 6 $ .

输入输出格式

输入格式

The first line contains a single integer $ t $ ( $ 1 \le t \le 10^4 $ ) — the number of test cases. The description of test cases follows. The only line of each test case contains a single integer $ k $ ( $ 2 \le k \le 10^9 $ ).

输出格式

For each test case output a single integer — the largest possible integer $ x $ that satisfies the conditions above. If no such $ x $ exists, output $ -1 $ .

输入输出样例

输入样例 #1

4
3
6
8
10

输出样例 #1

2
5
7
9

说明

In the first test case, $ 2! + 1! = 2 + 1 = 3 $ , which is a multiple of $ 3 $ . In the third test case, $ 7! + 6! = 5040 + 720 = 5760 $ , which is a multiple of $ 8 $ .

题目大意：
给定一个整数 $ k $，求一个最大的整数 $ x $，使得 $ 1 \le x < k $，并且 $ x! + (x - 1)! $ 是 $ k $ 的倍数。如果不存在这样的 $ x $，则判定无解。

输入输出数据格式：
输入格式：
第一行包含一个整数 $ t $（$ 1 \le t \le 10^4 $），表示测试用例的数量。接下来每行包含一个测试用例，每个测试用例为一个整数 $ k $（$ 2 \le k \le 10^9 $）。

输出格式：
对于每个测试用例，输出一个整数——满足上述条件的最可能的整数 $ x $。

如果不存在这样的 $ x $，输出 $ -1 $。

输入输出样例：
输入样例 #1：
```
4
3
6
8
10
```
输出样例 #1：
```
2
5
7
9
```
说明：
在第一个测试用例中，$ 2! + 1! = 2 + 1 = 3 $，是 3 的倍数。

在第三个测试用例中，$ 7! + 6! = 5040 + 720 = 5760 $，是 8 的倍数。题目大意： 给定一个整数 $ k $，求一个最大的整数 $ x $，使得 $ 1 \le x < k $，并且 $ x! + (x - 1)! $ 是 $ k $ 的倍数。如果不存在这样的 $ x $，则判定无解。 输入输出数据格式： 输入格式： 第一行包含一个整数 $ t $（$ 1 \le t \le 10^4 $），表示测试用例的数量。接下来每行包含一个测试用例，每个测试用例为一个整数 $ k $（$ 2 \le k \le 10^9 $）。 输出格式： 对于每个测试用例，输出一个整数——满足上述条件的最可能的整数 $ x $。 如果不存在这样的 $ x $，输出 $ -1 $。 输入输出样例： 输入样例 #1： ``` 4 3 6 8 10 ``` 输出样例 #1： ``` 2 5 7 9 ``` 说明： 在第一个测试用例中，$ 2! + 1! = 2 + 1 = 3 $，是 3 的倍数。 在第三个测试用例中，$ 7! + 6! = 5040 + 720 = 5760 $，是 8 的倍数。