310497: CF1842H. Tenzing and Random Real Numbers

H. Tenzing and Random Real Numberstime limit per test1 secondmemory limit per test1024 megabytesinputstandard inputoutputstandard output

There are $n$ uniform random real variables between 0 and 1, inclusive, which are denoted as $x_1, x_2, \ldots, x_n$.

Tenzing has $m$ conditions. Each condition has the form of $x_i+x_j\le 1$ or $x_i+x_j\ge 1$.

Tenzing wants to know the probability that all the conditions are satisfied, modulo $998~244~353$.

Formally, let $M = 998~244~353$. It can be shown that the answer can be expressed as an irreducible fraction $\frac{p}{q}$, where $p$ and $q$ are integers and $q \not \equiv 0 \pmod{M}$. Output the integer equal to $p \cdot q^{-1} \bmod M$. In other words, output the integer $x$ that $0 \le x < M$ and $x \cdot q \equiv p \pmod{M}$.

Input

The first line contains two integers $n$ and $m$ ($1\le n\le 20$, $0\le m\le n^2+n$).

Then following $m$ lines of input contains three integers $t$, $i$ and $j$ ($t \in \{0,1\}$, $1\le i\le j\le n$).

• If $t=0$, the condition is $x_i+x_j\le 1$.
• If $t=1$, the condition is $x_i+x_j\ge 1$.

It is guaranteed that all conditions are pairwise distinct.

Output

Output the probability that all the conditions are satisfied, modulo $M = 998~244~353$.

ExamplesInput

3 2
0 1 2
1 3 3

Output

748683265

Input

3 3
0 1 2
0 1 3
0 2 3

Output

748683265

Input

3 4
0 1 2
0 1 3
1 2 3
1 2 2

Output

935854081

Input

4 4
0 1 2
0 3 4
1 1 3
1 2 4

Output

0

Input

8 12
0 1 2
0 2 3
1 3 4
0 1 4
0 5 6
0 6 7
1 7 8
0 5 8
1 3 7
1 3 8
1 4 7
1 4 8

Output

997687297

Note

In the first test case, the conditions are $x_1+x_2 \le 1$ and $x_3+x_3\ge 1$, and the probability that each condition is satisfied is $\frac 12$, so the probability that they are both satisfied is $\frac 12\cdot \frac 12=\frac 14$, modulo $998~244~353$ is equal to $748683265$.

In the second test case, the answer is $\frac 14$.

In the third test case, the answer is $\frac 1{16}$.

In the fourth test case, the sum of all variables must equal $2$, so the probability is $0$.

题目大意：
这个问题是关于计算满足一系列条件的概率。给定n个在0到1之间（包括0和1）均匀分布的随机实数变量，表示为x1, x2, ..., xn。Tenzing有m个条件，每个条件的形式为xi + xj ≤ 1或xi + xj ≥ 1。需要计算所有条件都满足的概率，结果对998,244,353取模。

输入数据格式：
第一行包含两个整数n和m（1≤n≤20，0≤m≤n^2+n）。
接下来m行，每行包含三个整数t, i和j（t ∈ {0,1}，1≤i≤j≤n）。
- 如果t=0，条件是xi + xj ≤ 1。
- 如果t=1，条件是xi + xj ≥ 1。
保证所有条件都是两两不同的。

输出数据格式：
输出一个整数，表示所有条件都满足的概率，对M = 998,244,353取模。

请注意，上述内容是对原题目的一种解释和概述，具体的题目条件和要求可能会有更详细的规定。题目大意： 这个问题是关于计算满足一系列条件的概率。给定n个在0到1之间（包括0和1）均匀分布的随机实数变量，表示为x1, x2, ..., xn。Tenzing有m个条件，每个条件的形式为xi + xj ≤ 1或xi + xj ≥ 1。需要计算所有条件都满足的概率，结果对998,244,353取模。 输入数据格式： 第一行包含两个整数n和m（1≤n≤20，0≤m≤n^2+n）。 接下来m行，每行包含三个整数t, i和j（t ∈ {0,1}，1≤i≤j≤n）。 - 如果t=0，条件是xi + xj ≤ 1。 - 如果t=1，条件是xi + xj ≥ 1。 保证所有条件都是两两不同的。 输出数据格式： 输出一个整数，表示所有条件都满足的概率，对M = 998,244,353取模。 请注意，上述内容是对原题目的一种解释和概述，具体的题目条件和要求可能会有更详细的规定。