311076: CF1930G. Prefix Max Set Counting

G. Prefix Max Set Countingtime limit per test5 secondsmemory limit per test512 megabytesinputstandard inputoutputstandard output

Define a function $f$ such that for an array $b$, $f(b)$ returns the array of prefix maxima of $b$. In other words, $f(b)$ is an array containing only those elements $b_i$, for which $b_i=\max(b_1,b_2,\ldots,b_i)$, without changing their order. For example, $f([3,10,4,10,15,1])=[3,10,10,15]$.

You are given a tree consisting of $n$ nodes rooted at $1$.

A permutation$^\dagger$ $p$ of is considered a pre-order of the tree if for all $i$ the following condition holds:

• Let $k$ be the number of proper descendants$^\ddagger$ of node $p_i$.
• For all $x$ such that $i < x \leq i+k$, $p_x$ is a proper descendant of node $p_i$.

Find the number of distinct values of $f(a)$ over all possible pre-orders $a$. Since this value might be large, you only need to find it modulo $998\,244\,353$.

$^\dagger$ A permutation of length $n$ is an array consisting of $n$ distinct integers from $1$ to $n$ in arbitrary order. For example, $[2,3,1,5,4]$ is a permutation, but $[1,2,2]$ is not a permutation ($2$ appears twice in the array), and $[1,3,4]$ is also not a permutation ($n=3$ but there is $4$ in the array).

$^\ddagger$ Node $t$ is a proper descendant of node $s$ if $s \neq t$ and $s$ is on the unique simple path from $t$ to $1$.

Input

Each test contains multiple test cases. The first line contains a single integer $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) — the number of test cases. The description of the test cases follows.

The first line of each test case contains a single integer $n$ ($1 \leq n \leq 10^6$) — the number of vertices.

The following next $n-1$ lines contain two integers $u$ and $v$ ($1 \leq u, v \leq n$, $u \neq v$) — denoting an edge between nodes $u$ and $v$. It is guaranteed that the given edges form a tree.

It is guaranteed that the sum of $n$ over all test cases does not exceed $10^6$.

Output

For each test case, output the number of distinct values of $f(a)$ modulo $998\,244\,353$ that you can get.

ExampleInput

6
1
2
1 2
3
1 2
1 3
3
1 2
2 3
5
1 2
1 3
1 4
1 5
10
1 2
2 3
1 4
2 5
2 6
4 7
5 8
4 9
9 10

Output

1
1
2
1
8
6

Note

In the first test case, the only valid pre-order is $a=[1]$. So the only possible value of $f(a)$ is $[1]$.

In the second test case, the only valid pre-order is $a=[1,2]$. So the only possible value $f(a)$ is $[1,2]$.

In the third test case, the two valid pre-orders are $a=[1,2,3]$ and $a=[1,3,2]$. So the possible values of $f(a)$ are $[1,2,3]$ and $[1,3]$.

In the fifth test case, the possible values of $f(a)$ are:

• $[1,5]$;
• $[1,2,5]$;
• $[1,3,5]$;
• $[1,4,5]$;
• $[1,2,3,5]$;
• $[1,2,4,5]$;
• $[1,3,4,5]$;
• $[1,2,3,4,5]$.

题目大意：

定义一个函数 $ f $，对于数组 $ b $，$ f(b) $ 返回数组 $ b $ 的前缀最大值数组。换句话说，$ f(b) $ 是一个只包含那些 $ b_i = \max(b_1, b_2, \ldots, b_i) $ 的元素 $ b_i $ 的数组，不改变它们的顺序。例如，$ f([3,10,4,10,15,1]) = [3,10,10,15] $。

给定一个由 $ n $ 个节点组成的树，根节点为 1。

如果树的一个排列 $ p $ 对于所有 $ i $ 满足以下条件，则认为 $ p $ 是树的一个前序遍历：

- 设 $ k $ 为节点 $ p_i $ 的正确后代的数量。
- 对于所有 $ x $ 满足 $ i < x \leq i+k $，$ p_x $ 是节点 $ p_i $ 的正确后代。

求所有可能的前序遍历 $ a $ 的 $ f(a) $ 的不同值的数量。由于这个值可能很大，你只需要找到它模 $ 998,244,353 $ 的结果。

输入输出数据格式：

输入：

每个测试包含多个测试用例。第一行包含一个整数 $ t $ ($ 1 \leq t \leq 10^5 $) —— 测试用例的数量。接下来是测试用例的描述。

每个测试用例的第一行包含一个整数 $ n $ ($ 1 \leq n \leq 10^6 $) —— 节点的数量。

接下来的 $ n-1 $ 行包含两个整数 $ u $ 和 $ v $ ($ 1 \leq u, v \leq n $, $ u \neq v $) —— 表示节点 $ u $ 和 $ v $ 之间的边。保证给定的边构成一棵树。

保证所有测试用例的 $ n $ 之和不超过 $ 10^6 $。

输出：

对于每个测试用例，输出所有可能的前序遍历 $ a $ 的 $ f(a) $ 的不同值的数量模 $ 998,244,353 $。题目大意： 定义一个函数 $ f $，对于数组 $ b $，$ f(b) $ 返回数组 $ b $ 的前缀最大值数组。换句话说，$ f(b) $ 是一个只包含那些 $ b_i = \max(b_1, b_2, \ldots, b_i) $ 的元素 $ b_i $ 的数组，不改变它们的顺序。例如，$ f([3,10,4,10,15,1]) = [3,10,10,15] $。 给定一个由 $ n $ 个节点组成的树，根节点为 1。 如果树的一个排列 $ p $ 对于所有 $ i $ 满足以下条件，则认为 $ p $ 是树的一个前序遍历： - 设 $ k $ 为节点 $ p_i $ 的正确后代的数量。 - 对于所有 $ x $ 满足 $ i < x \leq i+k $，$ p_x $ 是节点 $ p_i $ 的正确后代。 求所有可能的前序遍历 $ a $ 的 $ f(a) $ 的不同值的数量。由于这个值可能很大，你只需要找到它模 $ 998,244,353 $ 的结果。 输入输出数据格式： 输入： 每个测试包含多个测试用例。第一行包含一个整数 $ t $ ($ 1 \leq t \leq 10^5 $) —— 测试用例的数量。接下来是测试用例的描述。 每个测试用例的第一行包含一个整数 $ n $ ($ 1 \leq n \leq 10^6 $) —— 节点的数量。 接下来的 $ n-1 $ 行包含两个整数 $ u $ 和 $ v $ ($ 1 \leq u, v \leq n $, $ u \neq v $) —— 表示节点 $ u $ 和 $ v $ 之间的边。保证给定的边构成一棵树。 保证所有测试用例的 $ n $ 之和不超过 $ 10^6 $。 输出： 对于每个测试用例，输出所有可能的前序遍历 $ a $ 的 $ f(a) $ 的不同值的数量模 $ 998,244,353 $。