[CSP-J 2021] 插入排序

题目描述

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。 假设比较两个元素的时间为 $\mathcal O(1)$，则插入排序可以以 $\mathcal O(n^2)$ 的时间复杂度完成长度为 $n$ 的数组的排序。不妨假设这 $n$ 个数字分别存储在 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式： 这下面是 C/C++ 的示范代码： ```cpp for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = i; j >= 2; j--) if (a[j] < a[j-1]) { int t = a[j-1]; a[j-1] = a[j]; a[j] = t; } ``` 这下面是 Pascal 的示范代码： ```pascal for i:=1 to n do for j:=i downto 2 do if a[j]<a[j-1] then begin t:=a[i]; a[i]:=a[j]; a[j]:=t; end; ``` 为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业： H 老师给了一个长度为 $n$ 的数组 $a$，数组下标从 $1$ 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 $a$ 上的 $Q$ 次操作，操作共两种，参数分别如下： $1~x~v$：这是第一种操作，会将 $a$ 的第 $x$ 个元素，也就是 $a_x$ 的值，修改为 $v$。保证 $1 \le x \le n$，$1 \le v \le 10^9$。**注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作**。 $2~x$：这是第二种操作，假设 H 老师按照**上面的伪代码**对 $a$ 数组进行排序，你需要告诉 H 老师原来 $a$ 的第 $x$ 个元素，也就是 $a_x$，在排序后的新数组所处的位置。保证 $1 \le x \le n$。**注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作**。 H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 $1$ 的操作次数不超过 $5000$。 小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。

输入输出格式

输入格式

第一行，包含两个正整数 $n, Q$，表示数组长度和操作次数。 第二行，包含 $n$ 个空格分隔的非负整数，其中第 $i$ 个非负整数表示 $a_i$。 接下来 $Q$ 行，每行 $2 \sim 3$ 个正整数，表示一次操作，操作格式见【**题目描述**】。

输出格式

对于每一次类型为 $2$ 的询问，输出一行一个正整数表示答案。

输入输出样例

输入样例 #1

3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3

输出样例 #1

1
1
2

说明

**【样例解释 #1】** 在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 $3, 2, 1$。 在修改操作之后，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 $3, 1, 2$。 注意虽然此时 $a_2 = a_3$，但是我们**不能将其视为相同的元素**。 **【样例 #2】** 见附件中的 `sort/sort2.in` 与 `sort/sort2.ans`。 该测试点数据范围同测试点 $1 \sim 2$。 **【样例 #3】** 见附件中的 `sort/sort3.in` 与 `sort/sort3.ans`。 该测试点数据范围同测试点 $3 \sim 7$。 **【样例 #4】** 见附件中的 `sort/sort4.in` 与 `sort/sort4.ans`。 该测试点数据范围同测试点 $12 \sim 14$。 **【数据范围】** 对于所有测试数据，满足 $1 \le n \le 8000$，$1 \le Q \le 2 \times {10}^5$，$1 \le x \le n$，$1 \le v,a_i \le 10^9$。 对于所有测试数据，保证在所有 $Q$ 次操作中，至多有 $5000$ 次操作属于类型一。 各测试点的附加限制及分值如下表所示。 | 测试点 | $n \le$ | $Q \le$ | 特殊性质 | |:-:|:-:|:-:|:-:| | $1 \sim 4$ | $10$ | $10$ | 无 | | $5 \sim 9$ | $300$ | $300$ | 无 | | $10 \sim 13$ | $1500$ | $1500$ | 无 | | $14 \sim 16$ | $8000$ | $8000$| 保证所有输入的 $a_i,v$ 互不相同 | | $17 \sim 19$ | $8000$ | $8000$ | 无 | | $20 \sim 22$ | $8000$ | $2 \times 10^5$ | 保证所有输入的 $a_i,v$ 互不相同 | | $23 \sim 25$ | $8000$ | $2 \times 10^5$ | 无 |