4560: [CSP-S 2021] 交通规划

# [CSP-S 2021] 交通规划 ## 题目描述 给定一个平面上 $n$ 条水平直线和 $m$ 条垂直直线，它们相交形成 $n$ 行 $m$ 列的网格，从上到下第 $r$ 条水平直线和从左到右第 $c$ 条垂直直线之间的交点称为格点 $(r, c)$。网格中任意两个水平或垂直相邻的格点之间的线段称为一条边，每条边有一个非负整数边权。 进行 $T$ 次询问，每次询问形式如下： 给出 $k$（$T$ 次询问的 $k$ 可能不同）个附加点，每个附加点位于一条从网格边缘向外出发的射线上。所有从网格边缘向外出发的射线按左上-右上-右下-左下-左上的顺序依次编号为 $1$ 到 $2 n + 2 m$，如下图：  对于每次询问，不同附加点所在的射线互不相同。每个附加点和最近的格点之间的线段也称为一条边，也有非负整数边权（注意，在角上的格点有可能和两个附加点同时相连）。 给定每个附加点的颜色（黑色或者白色），请你将网格内每个格点的颜色染成黑白二者之一，并使得所有两端颜色不同的边的边权和最小。请输出这个最小的边权和。 ## 输入格式 第一行，三个正整数 $n, m, T$，分别表示水平、垂直直线的数量，以及询问次数。 接下来 $n - 1$ 行，每行 $m$ 个非负整数。其中第 $i$ 行的第 $j$ 个非负整数 ${x 1}_{i, j}$ 表示 $(i, j)$ 和 $(i + 1, j)$ 间的边权。 接下来 $n$ 行，每行 $m - 1$ 个非负整数。其中第 $i$ 行的第 $j$ 个非负整数 ${x 2}_{i, j}$ 表示 $(i, j)$ 和 $(i, j + 1)$ 间的边权。 接下来依次输入 $T$ 组询问。第 $i$ 组询问开头为一行一个正整数 $k_i$ 表示这次询问附加点的总数。接下来 $k_i$ 行每行三个非负整数。其中第 $j$ 行依次为 ${x 3}_{i, j}, p_{i, j}, t_{i, j}$ 表示第 $j$ 个附加点和相邻格点之间的边权、所在的射线编号以及附加点颜色（$0$ 为白色，$1$ 为黑色）。保证同一组询问内 $p_{i, j}$ 互不相同。 每行的多个整数由空格分隔。 ## 输出格式 输出 $T$ 行，第 $i$ 行输出一个非负整数，表示第 $i$ 次询问染色之后两端颜色不同的边权和的最小值。 ## 样例 #1 ### 样例输入 #1 ``` 2 3 1 9 4 7 3 8 10 5 2 19 3 1 17 9 0 ``` ### 样例输出 #1 ``` 12 ``` ## 样例 #2 ### 样例输入 #2 ``` 见附件中的 traffic/traffic2.in ``` ### 样例输出 #2 ``` 见附件中的 traffic/traffic2.ans ``` ## 样例 #3 ### 样例输入 #3 ``` 见附件中的 traffic/traffic3.in ``` ### 样例输出 #3 ``` 见附件中的 traffic/traffic3.ans ``` ## 样例 #4 ### 样例输入 #4 ``` 见附件中的 traffic/traffic4.in ``` ### 样例输出 #4 ``` 见附件中的 traffic/traffic4.ans ``` ## 样例 #5 ### 样例输入 #5 ``` 见附件中的 traffic/traffic5.in ``` ### 样例输出 #5 ``` 见附件中的 traffic/traffic5.ans ``` ## 提示 **【样例解释 #1】** 最优方案：$(1, 3), (1, 2), (2, 3)$ 为黑色；$(1, 1), (2, 1), (2, 2)$ 为白色。 **【数据范围】** | 测试点编号 | $n, m \le$ | $k_i \le$ | |:-:|:-:|:-:| | $1 \sim 2$ | $5$ | $50$ | | $3 \sim 5$ | $18$ | $2$ | | $6 \sim 8$ | $18$ | $50$ | | $9 \sim 10$ | $100$ | $2$ | | $11 \sim 12$ | $100$ | $50$ | | $13 \sim 16$ | $500$ | $2$ | | $17 \sim 20$ | $500$ | $50$ | 对于所有数据，$2 \le n, m \le 500$，$1 \le T \le 50$，$1 \le k_i \le \min \{ 2 (n + m), 50 \}$，$1 \le \sum_{i = 1}^{T} k_i \le 50$，$0 \le x \le {10}^6$，$1 \le p \le 2 (n + m)$，$t \in \{ 0, 1 \}$。 保证对于每个 $i \in [1, T]$，$p_{i, j}$ 互不相同。