4021: NOIP2019Emiya家今天的饭
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Description
Emiya 是个擅长做菜的高中生，他共掌握 $n$ 种**烹饪方法**，且会使用 $m$ 种**主要食材**做菜。为了方便叙述，我们对烹饪方法从 $1 \\sim n$ 编号，对主要食材从 $1 \\sim m$ 编号。
Emiya 做的每道菜都将使用**恰好一种**烹饪方法与**恰好一种**主要食材。更具体地，Emiya 会做 $a_{i,j}$ 道不同的使用烹饪方法 $i$ 和主要食材 $j$ 的菜 $(1\\le i\\le n, 1\\le j\\le m)$，这也意味着 Emiya 总共会做 $\\displaystyle \\sum_{i = 1}^n \\sum_{j = 1}^m a_{i,j}$ 道不同的菜。
Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友，然而三个人对菜的搭配有不同的要求，更具体地，对于一种包含 $k$ 道菜的搭配方案而言:
- Emiya 不会让大家饿肚子，所以将做**至少一道菜**，即 $k \\ge 1$
- Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜，因此她要求每道菜的**烹饪方法互不相同**
- Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜，因此他要求每种**主要食材**至多在**一半**的菜（即 $\\lfloor \\frac k2 \\rfloor$ 道菜）中被使用
- 这里的 $\\lfloor x\\rfloor$ 为下取整函数，表示不超过 $x$ 的最大整数
这些要求难不倒 Emiya，但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同，当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现，而不在另一种方案中出现。
Emiya 找到了你，请你帮他计算，你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 $998,244,353$ 取模的结果。
Input
从文件 `meal.in` 中读入数据。
第 $1$ 行两个用单个空格隔开的整数 $n, m$。
第 $2$ 行至第 $n + 1$ 行，每行 $m$ 个用单个空格隔开的整数，其中第 $i + 1$ 行的 $m$ 个数依次为 $a_{i,1}, a_{i,2}, \\dots, a_{i,m}$。
Output
输出到文件 `meal.out` 中。 仅一行一个整数，表示所求方案数对 $998,244,353$ 取模的结果。
Sample Input Copy
2 3
1 0 1
0 1 1Sample Output Copy
3HINT
#### 样例输入 1
```plain
2 3
1 0 1
0 1 1
```
#### 样例输出 1
```plain
3
```
#### 样例解释 1
由于在这个样例中，对于每组 $i, j$，Emiya 都最多只会做一道菜，因此我们直接通过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。
符合要求的方案包括：
- 做一道用烹饪方法 $1$、主要食材 $1$ 的菜和一道用烹饪方法 $2$、主要食材 $2$ 的菜
- 做一道用烹饪方法 $1$、主要食材 $1$ 的菜和一道用烹饪方法 $2$、主要食材 $3$ 的菜
- 做一道用烹饪方法 $1$、主要食材 $3$ 的菜和一道用烹饪方法 $2$、主要食材 $2$ 的菜
因此输出结果为 $3 \\bmod 998,244,353 = 3$。 需要注意的是，所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的，因为唯一的主要食材在超过一半的菜中出现，这不满足 Yazid 的要求。
#### 样例输入 2
```plain
3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0
```
#### 样例输出 2
```plain
190
```
#### 样例解释 2
Emiya 必须至少做 $2$ 道菜。
做 $2$ 道菜的符合要求的方案数为 $100$。
做 $3$ 道菜的符合要求的方案数为 $90$。
因此符合要求的方案数为 $100 + 90 = 190$。
#### 样例输入 3
```plain
5 5
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1
```
#### 样例输出 3
```plain
742
```
#### 样例 4
详见附加文件 `meal4.in/ans`。
#### 样例 5
详见附加文件 `meal5.in/ans`。
| 测试点编号 | $n=$ | $m=$ | $a_{i,j} < $ |
| :---------: | :---: | :----: | :-----------: |
| $1$ | $2$ | $2$ | $2$ |
| $2$ | $2$ | $3$ | $2$ |
| $3$ | $5$ | $2$ | $2$ |
| $4$ | $5$ | $3$ | $2$ |
| $5$ | $10$ | $2$ | $2$ |
| $6$ | $10$ | $3$ | $2$ |
| $7$ | $10 $ | $2$ | $1000$ |
| $8$ | $10 $ | $3$ | $1000$ |
| $9\\sim 12$ | $40$ | $2$ | $1000$ |
| $13\\sim 16$ | $40$ | $3$ | $1000$ |
| $17\\sim 21$ | $40$ | $500$ | $1000$ |
| $22\\sim 25$ | $100$ | $2000$ | $998,244,353$ |
对于所有测试点，保证 $1 \\le n \\le 100$，$1 \\le m \\le 2000$，$0 \\le a_{i,j} < 998,244,353$。